La Potenza Moltiplicativa delle Mascherine

Articolo Interattivo sul Come le Mascherine Possano Mettere Fine al Covid-19

di Aatish BhatiaMinute Physics

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Oramai sappiamo bene che le mascherine hanno un effetto smisurato nel rallentare la diffusione del COVID-19. Ciononostante, ci sono persone contrarie all'uso delle mascherine, perché lo considerano una scelta personale piuttosto che una necessità per la salute di tutti.

Questo è un approccio miope, perché le mascherine proteggono chi le porta ma anche il resto delle persone attorno. Questa protezione "a doppia corsia" rende l'uso esteso delle mascherine uno strumento efficace per estinguere un'epidemia.

Facendo un po' di matematica con le mascherine, vedremo come se anche solo il 60% della popolazione portasse mascherine con un efficienza del 60%, la diffusione dei contagi diminuirebbe circa del 60% — più o meno il necessario per fermare la propagazione del COVID-19.

Parlare, non Sputare

Ma prima, cerchiamo di fare un po' di chiarezza su alcuni numeri. Quando una persona espira, emette particelle di saliva di diverse misure. Se la persona è contagiosa, questo "spruzzo orale" è pieno di particelle virali. Gli schizzi di saliva carichi di virus sono la causa principale della diffusione del COVID-19.

Quando una persona contagiosa respira, emette circa mille particelle virali al minuto.

Quando una persona parla, spruzza circa diecimila particelle virali al minuto.

Quando tossisce, sputa circa centomila particelle virali.

E quando starnutisce, fa uscire circa un milione di particelle virali.

Quante più particelle virali viaggiano da persona a persona, tanto più alta la probabilità di infezione (e una volta infetto, un individuo esposto a molte particelle virali generalmente tende a soffrire di sintomi più acuti).

Modalità di Trasmissione n.1: Quando una persona contagiosa si avvicina ad un altra persona, il suo 'spruzzo orale' può disseminare la malattia.

Le mascherine riducono lo spruzzo di saliva che viaggia da una persona all'altra — bloccandolo o cambiandogli direzione — riducendo quindi la probabilità di infezione.

È importante tenere a mente che nessuna mascherina è perfetta. Anche le N95 raccomandate per gli operatori sanitari sono solo testate per garantire il filtraggio del 95% del particolato (e ci riescono solo se indossate correttamente).

Le mascherine non garantiscono immunità, ma aiutano a ridurre i rischi di contagio. È un po' come un ombrello, che non garantisce di rimanere asciutti, ma di sicuro abbassa la probabilità di bagnarsi. E come gli ombrelli, le mascherine funzionano solo se usate correttamente. Ma a differenza degli ombrelli, che proteggono soltanto le persone che li usano, le mascherine proteggono anche chi è nelle vicinanze di chi le porta.

Le Mascherine Proteggono Due Volte

Supponiamo che una persona contagiosa porti una mascherina efficace al 50 per cento. Dicendo 'efficace al 50 per cento', intendo dire che portare questa mascherina riduce della metà il rischio di infettare un'altra persona nei propri paraggi.

Modalità di Trasmissione n.2: Se la persona contagiosa porta una mascherina efficace al 50%, il contagio viene ridotto del 50%.

Ma che succede se invece a portare la mascherina è la persona che riceve gli schizzi di saliva?

In generale, l'efficacia di una mascherina cambia a seconda se si inspira o espira. Però per adesso semplifichiamo, e supponiamo di avere una mascherina con un'efficacia identica in entrambe le direzioni.

In questo caso, la probabilità di infezione viene ridotta, in modo simile, del 50%.

Modalità di Trasmissione n.3: Quando il ricevente porta una mascherina efficace al 50%, la propagazione dei contagi diminuisce del 50%.

Cosa succede se sia la persona contagiosa che anche quella a rischio portano una mascherina?

Allora, la prima mascherina riduce la probabilità di infezione della metà, poi la seconda mascherina riduce ulteriormente la probabilità di un'altra metà. Quindi quando entrambe le persone portano mascherine, la probabilità di infezione è ridotta alla metà della metà, ovvero al 25% (se paragonata alla situazione in cui nessuno dei due porta una mascherina). Questo equivale ad un calo della probabilità di infezione del 75%.

Modalità di Trasmissione n.4: Quando entrambe le persone portano una mascherina efficace al 50%, la propagazione dei contagi diminuisce del 75%.

A pensarci bene, è sorprendente come una mascherina efficace solo al 50% possa ridurre i rischi di infezione del 75%. Questo però è possibile, perché la probabilità di contagio è tagliata a metà due volte di seguito. Questa doppia protezione rende le mascherine molto più efficaci di quanto uno si aspetti intuitivamente.

Riassumendo, ecco tutti e quattro i modi in cui un virus che si propaga nell'aria può diffondersi da persona a persona

Modalità di Trasmissione
Riduzione della Probabilità di Infezione
0%
50%
50%
75%
I quattro modi in cui il COVID-19 può passare da persona a persona, supponendo una mascherina efficace al 50%.

Da Due A Tutti

Per adesso, ci siamo solo concentrati sulla trasmissione del contagio tra due persone. Da questo punto di partenza, come si arriva a capire la propagazione di un virus attraverso l'intera popolazione di un paese?

Questo è abbastanza semplice, per i casi limite.

Ad esempio, se nessuno portasse una mascherina, quando due persone si incontrano, la probabilità che nessuno dei due porti una mascherina è del 100%.

In questo caso dovremmo considerare solo la prima modalità di trasmissione della malattia, e la popolazione non godrebbe di nessuna riduzione nella propagazione del virus.

All'altro estremo, se tutti portassero una mascherina, in questo caso quando due persone si incontrano, la probabilità che entrambe portino una mascherina è del 100%.

Questa volta, dovremmo solo considerare l'ultima modalità di trasmissione della malattia. Sempre supponendo che le mascherine siano efficaci al 50% in entrambe le direzioni, la popolazione avrebbe una riduzione del 75% della propagazione del virus.

Quindi quando tutti portano una mascherina (oppure quando nessuno la mette), è molto semplice calcolare la riduzione della trasmissione dei contagi in una popolazione intera, perché può esistere solo una modalità di trasmissione.

In realtà, però, alcune persone portano la mascherina e altre non lo fanno. Che significa che il virus si può diffondere con un misto di tutte le diverse modalità di trasmissione. La frequenza del metodo di trasmissione dipende da quanti portano una mascherina.

Per esempio, se il 50% delle persone portasse una mascherina, allora quando due persone qualunque si incontrano, la probabilità che entrambi portino una mascherina è del 50% ⨉ 50%, ovvero il 25%. Ed in modo simile possiamo calcolare la probabilità di occorrenza per ogni altra modalità di trasmissione.

Quando esattamente metà della popolazione porta una mascherina, succede che ogni modalità di trasmissione ha la stessa probabilità di succedere.
(Riesci a calcolare come questo sia necessariamente vero?).

Modalità di Trasmissione della Malattia
Riduzione Propagazione di Contagi
0%
50%
50%
75%
Probabilità di Occorrenza
25%
25%
25%
25%
I quattro modi in cui il COVID-19 può diffondersi da persona a persona, supponendo che il 50% della popolazione porti una mascherina efficace al 50%.

Adesso possiamo calcolare la riduzione media della trasmissione della malattia su tutta la popolazione. Visto che ogni modalità di trasmissione è ugualmente probabile, questo è abbastanza semplice: è solamente la media di 0%, 50%, 50% e 75%, che corrisponde al 43.75%.

Chi non porta una mascherina può essere contagiato tramite le prime due modalità, che possono occorrere in maniera parimente probabile quando la metà della popolazione porta la mascherina. Quindi la riduzione nella trasmissione dei contagi tra i non-portatori di mascherina è data dalla media tra 0% e 50%, ovvero il 25%.

Nello stesso modo, chi invece porta una mascherina, può essere contagiato tramite le ultime due modalità. Quindi la riduzione nella trasmissione dei contagi tra i portatori di mascherina è data dalla media tra 50% e 75%, ovvero il 62.5%.

Riduzione Media della Tramissione dei Contagi = 43.75%
Riduzione della Trasmissione tra i Non-Portatori di Mascherina = 25%
Riduzione della Trasmissione tra i Portatori di Mascherina = 62.5%
(Continuando a supporre che il 50% delle persone porti una mascherina efficace al 50%).

Di conseguenza, anche chi non porta la mascherina ottiene un beneficio modesto, perché l'aria che inspira è spesso filtrata dalla mascherina di altre persone. Ma chi porta la mascherina ha un beneficio molto più alto, grazie alla protezione aggiuntiva della propria mascherina.

E visto che la popolazione consiste sia di portatori di mascherina che di non-portatori di mascherina, il beneficio medio giace in un punto a metà tra questi due.

Quindi, in questo esempio semplificato (in cui il 50% della popolazione porta una mascherina efficace al 50%) siamo riusciti a capire come arrivare dal beneficio che una mascherina offre all'individuo alla media del beneficio che le mascherine offrono all'intera popolazione.

Mascherinologia

Seguendo la stessa logica, applichiamola a qualsiasi valore di uso delle mascherine e di efficacia delle mascherine. Muovendo i pallini qua sotto si può simulare la riduzione della diffusione del virus ottenuta con le mascherine.

Modalità di Trasmissione
Riduzione della Propagazione
{{convertToPercent(d1)}}%
{{convertToPercent(d2)}}%
{{convertToPercent(d3)}}%
{{convertToPercent(d4)}}%
Probabilità di Occorrenza
{{convertToPercent(l1)}}%
{{convertToPercent(l2)}}%
{{convertToPercent(l3)}}%
{{convertToPercent(l4)}}%
Riduzione Media di Trasmissione del Virus: {{convertToPercent(1 - (1 - ein * p) * (1 - eout * p))}}%
Riduzione per i Non-Portatori di Mascherine: {{convertToPercent(eout * p)}}%
Riduzione per i Portatori di Mascherine: {{convertToPercent(1 - (1 - eout * p) * (1 - ein))}}%

Che succede se il 60% delle persone porta una mascherina efficace al 60%? O se il 90% delle persone porta una mascherina efficace al 50%? O se il 50% porta una mascherina efficace al 90%? Interagendo con questa animazione si possono ottenere risposte a queste domande.

Conclusione: Se aumentano le persone che portano la mascherina, aumenta la sicurezza di tutti.

Filtrando l'aria in inspirazione, le mascherine proteggono direttamente chi le porta. E filtrando l'aria in espirazione (o ridirezionandola), le mascherine proteggono indirettamente tutti - anche chi non le usa.

Ma in realtà, le mascherine sono anche più efficaci di quanto suggeriscano queste simulazioni.

Come Bloccare un'Epidemia

Il fuoco si spegne per mancanza di ossigeno. Ma non c'è bisogno di rimuovere completamente l'ossigeno in una stanza, basta togliere abbastanza ossigeno per evitare che il fuoco si propaghi. È la stessa cosa per un'epidemia - non c'è bisogno di ridurre la trasmissione dei contagi del 100%. Se si riesce ad abbassare la diffusione in maniera sufficiente da evitare che la malattia si diffonda ulteriormente, si può sconfiggere l'epidemia.

Probabilmente a questo punto hai già sentito parlare del termine epidemiologico R0. Questo è il il numero di persone che una persona infetta può contagiare in una popolazione completamente sprovvista di anticorpi contro quella malattia.

Quando il valore R0 è maggiore di 1, i contagi aumentano esponenzialmente fino a quando un numero di persone sufficiente riceverà un vaccino o svilupperà un'immunità alla malattia.

Eppure, come scrive Ed Yong sull'Atlantic, "R0 non è una condanna". R0 è semplicemente il prodotto di due numeri: il numero medio di persone che un individuo contagioso incontra e la probabilità di infezione per ogni incontro.

R0 = numero medio di persone che un individuo incontra
probabilità di infezione per incontro

Distanziamento sociale, quarantene e chiusura forzata di stabili e eventi sono misure prese per diminuire il primo numero. Le mascherine invece riducono il secondo numero. Tutte queste strategie nell'insieme servono a riportare l'epidemia sotto controllo, cercando di abbassare R0 sotto il valore di 1.

Tenendo tutto questo in considerazione, cerchiamo di ridefinire l'impatto delle mascherine in termini di R0. Il grafico qua sotto mostra la variazione di R0 in funzione dell'incremento dell'uso delle mascherine.

Il primo rigo modifica il valore di R0, che per il COVID-19 è tra 2 e 3 (se lo si calcola in assenza di altre misure di controllo come il distanziamento sociale, che lo abbassa ulteriormente). Aggiustando l'efficacia delle mascherine, si può notare come le mascherine possano riportare l'epidemia sotto controllo.

Per fermare la diffusione del COVID-19, dobbiamo mantenere R0 sotto il valore di 1. Quando ci si riesce, una persona contagiosa contagerà in media meno di una persona (invece di due o tre), e l'epidemia rallenterà velocemente.

Quindi, in quanti dobbiamo portare una mascherina con un'efficacia del 50% per bloccare il COVID-19? E quanti se invece le mascherine fossero efficaci al 75%? Oppure al 90%? Interagendo con questa animazione si possono ottenere risposte a queste domande.

Il Costo Umano

Possiamo fare ancora un passo in più ed esprimere il valore delle mascherine in termini più propriamente umani. Le mascherine salvano vite, abbassando le probabilità di infezione che, a loro volta, riducono l'estensione dell'epidemia.

Se più persone portano mascherine, il valore di R0 si riduce. Se il valore di R0 si riduce, anche il numero di persone infette si riduce. E quindi possiamo ottenere un quadro più chiaro se, invece di visualizzare il valore R0, mostriamo la frazione infetta della popolazione.

Usando un modello matematico molto adottato per le epidemie, noto come modello SIR, possiamo stabilire una relazione tra R0 e la frazione della popolazione che prima o poi verrà contagiata. (Per saperne di più di modelli SIR, raccomando la visione di questo video eccellente - originale in inglese.)

Anche se questo modello è stato sviluppato usando una semplificazione notevole (ovvero, presuppone un mescolamento casuale tra persone e nessuna misura di isolamento sociale), ci offre tuttavia una stima approssimativa del costo umano del non mettere mascherine.

Questo grafico a forma di collina rende l'idea dell'impatto delle mascherine sull'estensione di un'epidemia. All'aumentare del numero di persone che portano una mascherina, il numero delle infezioni precipita drammaticamente.

Quando pochissimi portano una mascherina, si è all'apice della collina, e la maggior parte della popolazione sarà purtroppo contagiata. Ma ogni passo verso destra fa scendere rapidamente verso terra. Quindi anche mascherine che non sono del tutto efficaci, anche se usate non da tutti, possono aiutare nella lotta al COVID-19.

Per fermare completamente la diffusione del virus, dobbiamo arrivare alla valle sotto questa collina. Ma c'è un lato positivo: con l'aumentare del numero di portatori di mascherina, il versante della collina diventa più ripido. Che in altre parole significa che più persone portano mascherine, più alto è l'effetto positivo sull'intera popolazione.

Se un numero sufficiente di persone porta una mascherina, possiamo raggiungere insieme il piede della collina, dove la possibilità di essere contagiati è zero. In questo modo le mascherine possono mettere fine ad un'epidemia. Ma questo riesce solo se un numero sufficiente di persone le indossa.

Ci si potrebbe chiedere quante persone servono, per porre fine ad un'epidemia tramite l'uso di mascherine. Questo dipende dall'efficacia delle mascherine.

Manipolando l'animazione qua sopra, si nota che se le mascherine fossero efficaci solo al 50%, avremmo bisogno di circa tre quarti della popolazione per fermare il COVID-19. Ma se le mascherine fossero invece efficaci al 75%, allora basterebbe anche solo metà della popolazione per mettere fine alla diffusione del virus.

Quanto più le mascherine sono efficaci, tanto più velocemente possiamo scendere dalla collina. Per questo è importante portare una mascherina che ricopra perfettamente la bocca ed il naso e che sia prodotta usando materiale altamente filtrante.

Vogliamo tutti arrivare sotto la collina e fermare la diffusione del COVID-19. Ma non si riesce ad arrivarci da soli. Ogni persona può solamente fare un piccolo passo.

Ma quando tantissime persone compiono questo piccolo passo insieme, l'intera popolazione fa un gran salto giù dalla collina.

Insieme, possiamo arrivare alla valle.

Insieme, possiamo fermare il COVID-19.